Question

已知f（x）=ax²+bx+c（a≠0），g（x）=f[f（x）]
①若f（x）无零点，则g（x）＞0对?x∈R成立；
②若f（x）有且只有一个零点，则g（x）必有两个零点；
③若方程f（x）=0有两个不等实根，则方程g（x）=0不可能无解
其中真命题的个数是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：本题利用特殊法处理，根据已知条件，适当取特殊函数一一验证：对于①，若取a=-1，b=

1

2

，c=-

1

2

，则f（x）=-x²+

1

2

x-

1

2

，无零点；
②如下图，若f（x）（其图象为黑色）有且只有一个零点，则g（x）（其图象为红色）没有两个零点；
③如下图，若方程f（x）=0有两个不等实根（其图象为黑色），则方程g（x）=0（其图象为红色）可能无解．

解答：解：已知f（x）=ax²+bx+c（a≠0），g（x）=f[f（x）]
对于①，若取a=-1，b=

1

2

，c=-

1

2

，则f（x）=-x²+

1

2

x-

1

2

，无零点，如图，但g（x）＜0对?x∈R成立；故①错；
②如下图，若f（x）（其图象为黑色）有且只有一个零点，则g（x）（其图象为红色）没有两个零点；故错；
③如下图，若方程f（x）=0有两个不等实根（其图象为黑色），则方程g（x）=0（其图象为红色）可能无解，故③错．
其中真命题的个数是0．
故选A．

点评：本小题主要考查二次函数的性质、函数的零点等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．