Question

设函数f(x)＝x³＋bx²＋cx＋5，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行．

(1)求实数c的值；

(2)判断是否存在实数b，使得方程f(x)－b²x＝0恰有一个实数根．若存在，求b的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，∴(0)＝0　　2分 　　又(x)＝3x2＋2bx＋c，则(0)＝c＝0　　4分 　　(2)由c＝0，方程f(x)－b2x＝0可化为x3＋bx2－b2x＋5＝0， 　　假设存在实数b使得此方程恰有一个实数根，则 　　令g(x)＝x3＋bx2－b2x＋5，只需g(x)极大值＜0或g(x)极小值＞0 　　∴(x)＝3x2＋2bx－b2＝(3x－b)(x＋b)　　5分 　　令(x)＝0，得，x2＝－b 　　①若b=0，则方程f(x)－b2x＝0可化为x3＋5＝0，此方程恰有一个实根　　6分 　　②若b＞0，则，列表： 　　∴g(x)极大值＝g(－b)＝b3＞0， 　　∴，解之得　　9分 　　③若b＜0，则，列表： 　　∴， 　　∴，解之得，∴　　12分 　　综合①②③可得，实数的取值范围是　　14分