题目内容

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E在棱CD上．
（1）求证：EB₁⊥AD₁；
（2）若E是CD中点，求EB₁与平面AD₁E所成的角；
（3）设M在BB₁上，且 $数学公式$ ，是否存在点E，使平面AD₁E⊥平面AME，若存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由．

解：以D为坐标原点，DA，DC，DD₁依次为x轴、y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
并设正方体棱长为1，设点E的坐标为E（0，t，0）
（1） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，
∴EB₁⊥AD₁
（2）当E是CD中点时，
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
设平面AD₁E的一个法向量是 $\text{[math]}$ =（x，y，z），
则由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
得一组解是 $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ ，由cosθ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
从而直线EB₁与平面AD₁E所成的角的正弦值是 $\text{[math]}$
（3）设存在符合题意的E点为E（0，t，0）可得平面AD₁E的一个法向量是 $\text{[math]}$ ，
平面AME的一个法向量是 $\text{[math]}$
∵平面AD₁E⊥平面AME，
∴ $\text{[math]}$ =0，
解得t= $\text{[math]}$ 或t=2（舍），
故当点E是CD的中点时，平面AD₁E⊥平面AME
分析：（1）建立坐标系，设出正方体的棱长，设出E点的坐标，写出要证的两条线段对应的坐标，求两个向量的数量积，得到两个向量的数量积为0，得到对应的两条直线垂直．
（2）设出平面AD₁E的一个法向量，利用这个法向量与平面上的两个不共线的向量的数量积为0，求出一个法向量，直线与平面所成的角，通过两条直线所成的角得到，注意得到的是线面角的正弦值．
（3）假设存在符合条件的点，得到平面的一个法向量，根据两个平面垂直，得到对应的两个平面的法向量的数量积是0，得到关于t的方程，解方程即可，舍去不合题意的结果．
点评：本题考查利用空间向量的知识解决立体几何的问题，这种题目是每一年高考卷中必出的一种题目，本题只要注意在第二问中线面角的正弦值等于两个向量的夹角的余弦值就不会出错．