Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为BB₁和A₁D₁的中点．证明：向量

A1B

、

B1C

、

EF

是共面向量．

Answer 1

分析：欲证向量

A1B

、

B1C

、

EF

是共面向量，即证明B₁C和EF都与平面A₁BD平行．连结A₁D、BD，取A₁D中点G，连结FG、BG，由三角形中位线定理和正方形的性质证出四边形BEFG为平行四边形，从而EF∥BG，利用线面平行判定定理证出EF∥平面A₁BD，同理证出B₁C∥平面A₁BD，由此即可得到向量

A1B

、

B1C

、

EF

是共面向量．

解答：解：连结A₁D、BD，取A₁D中点G，连结FG、BG，
则有FG

∥

.

1

2

DD₁，BE

∥

.

1

2

DD₁，
∴FG

∥

.

BE，可得四边形BEFG为平行四边形．
∴EF∥BG．
∵EF?平面A₁BD，BG?平面A₁BD，∴EF∥平面A₁BD．
同理可得B₁C∥平面A₁BD，而向量

A1B

是平面A₁BD内的向量
∴向量

A1B

、

B1C

、

EF

都与平面A₁BD平行．
由此可得：将向量

A1B

、

B1C

、

EF

作适当的平移后，可以共面于平面A₁BD
即

A1B

、

B1C

、

EF

是共面向量．

点评：本题给出正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱的中点E、F、G，求证向量

A1B

、

B1C

、

EF

是共面向量．着重考查了正方体的性质、线面平行判定定理和向量共面的证明等知识，属于中档题．