题目内容
8．如图，在正方体中，E、F为所在棱的中点，求证：D1、E、F、B四点共面．
分析 要证：E，B，F，D1四点共面，只需证BF∥D1E即可．
解答 证明：在BB1取点M，使得BM=AE，
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体
∴ME∥AB且ME=AB
∴ME∥C1D1且ME=C1D1
∴四边形C1D1EM是平行四边形
∴D1E∥C1M
又∵C1M∥FB且C1M=FB
∴D1E∥FB且D1E=FB
∴四边形EBFD1是平行四边形
∴E，B，F，D1四点共面
点评 此题考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，考查对四点共面的理解与掌握
练习册系列答案
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18．在正方形ABCD的边长为2，$\overrightarrow{DE}=2\overrightarrow{EC}$，$\overrightarrow{DF}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DB}）$，则$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{DF}$的值为（ ）
| A． | $\frac{2}{3}$ | B． | $-\frac{2}{3}$ | C． | $\frac{10}{3}$ | D． | $-\frac{10}{3}$ |
3．自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A-C-D-B，乙线路是A-E-F-G-H-B，其中CD段，EF段，GH段都是易堵车路段．假设这三条路段堵车与否相互独立．这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表所示：
经调查发现堵车概率x在（$\frac{2}{3}$，1）上变化，y在（0，$\frac{1}{2}$）上变化．在不堵车的状况下，走甲路线需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到如表数据．
（Ⅰ）求CD段平均堵车时间a的值，（同一组数据用该区间的中点值做代表）
（Ⅱ）若走甲、乙路线所花汽油费的期望值相等，且x=$\frac{11}{12}$，求y的值．
| 堵车时间（小时） | 频数 |
| [0，1] | 8 |
| （1，2] | 6 |
| （2，3] | 38 |
| （3，4] | 24 |
| （4，5] | 24 |
| 路段 | CD | EF | GH |
| 堵车概率 | x | y | $\frac{1}{4}$ |
| 平均堵车时间（小时） | a | 2 | 1 |
（Ⅱ）若走甲、乙路线所花汽油费的期望值相等，且x=$\frac{11}{12}$，求y的值．
如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在的平面所成的二面角为θ，AD与BF夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$，试求θ的值．