Question

18．在正方形ABCD的边长为2，$\overrightarrow{DE}=2\overrightarrow{EC}$，$\overrightarrow{DF}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DB}）$，则$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{DF}$的值为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $-\frac{2}{3}$
• C． $\frac{10}{3}$
• D． $-\frac{10}{3}$

Answer 1

分析 由条件可以得到$\overrightarrow{DE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{CF}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，从而根据向量加法、减法的几何意义便可得到$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{DF}=（\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}）•（-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CD}）$，这样进行数量积的计算便可求出$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{DF}$的值．

解答 解：如图，$\overrightarrow{DE}=2\overrightarrow{EC}$；

∴$\overrightarrow{DE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DC}$；
∴$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$；
$\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{CD}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CD}$；
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{DF}=（\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}）•（-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CD}）$=$-\frac{1}{2}{\overrightarrow{BC}}^{2}+0+0-\frac{1}{3}{\overrightarrow{CD}}^{2}=-\frac{10}{3}$．
故选：D．

点评 考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，向量数乘的运算，以及向量数量积的运算及其计算公式，相互垂直向量的数量积为0．