Question

【题目】已知函数，，为的导函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若，当时，求证:有两个零点.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）结合函数的导数与单调性的关系，对进行分类讨论，分为，，，几种情形，即可求出函数的单调性；

（2）结合（1）中的结果可得的单调性，易得1为函数一个零点，结合函数的单调性及函数的零点判定定理可求.

（1）

①当时，令，得，令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减；

②当时，令，得，，

i）当时，，所以在上单调递增；

ii）当时，令，得或；令，得，

所以在和单调递增，在单调递减；

iii）当时，令，得或；令，得，

所以在和单调递增，在单调递减；

综上：①当时，在上单调递增；在单调递减；

②i）当时，在上单调递增；

ii）当时，在和单调递增，在单调递减；

iii）当时，在和单调递增，在单调递减；

（2）当时，在与单调递增，在单调递减，

所以在与单调递增，在单调递减，

因为，所以是函数的一个零点，且，

当时，取且，

则，

所以，所以在恰有一个零点，

所以在区间有两个零点.