Question

【题目】已知椭圆Γ：的离心率为，左右焦点分别为F1，F2，且A、B分别是其左右顶点，P是椭圆上任意一点，△PF1F2面积的最大值为4.

（1）求椭圆Γ的方程.

（2）如图，四边形ABCD为矩形，设M为椭圆Γ上任意一点，直线MC、MD分别交x轴于E、F，且满足，求证：AB＝2AD.

Answer 1

【答案】（1）1（2）证明见解析；

【解析】

（1）由椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合的关系，解方程可得所求椭圆方程；

（2）设，，，令，运用直线方程和两直线的交点，化简整理，即可得证.

（1）由题意可得，解得.

所以椭圆的方程为1.

（2）设，，，令，

由，故的方程为，

直线交轴于，

令，则，

即：.

由，故的方程为，

直线交轴于，

令，则，

即：.

因为，

所以.

可得，

即，得.

又因为，所以，

可得，即，

因为为椭圆上一点，

所以，解得，

所以，即证：.