Question

若正数项数列的前项和为，首项，点，在曲线上.
（1）求，；
（2）求数列的通项公式；
（3）设,表示数列的前项和，若恒成立，求及实数的取值范围.

Answer 1

(1);(2);(3).

解析试题分析：(1)根据已知点，在曲线上，代入曲线，得到与的关系，再根据,分别取和代入关系式，得到关于与的方程组，解方程，得到结果；（2）由（1）得的，因为是正项数列，所以两边开方，得与的地推关系式，从而判定数列形式，得出的通项公式,再根据,得出的通项公式；（3）代入的通项公式得到，然后裂项，经过裂项相消，得到的前项和，，通过分离常数可以判定的单调性，求出最值，若恒成立，那么,得到的范围.此题计算相对较大，属于中档题.
试题解析：（1）解：因为点，在曲线上，所以.
分别取和，得到，
由解得，.             4分
（2）解：由得.
数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，     6分
由，当时，，
所以.                8分
（3）解：因为，
所以，     11分
显然是关于的增函数， 所以有最小值，
因为恒成立，所以，
因此，实数的取值范围是，.         13分
考点：1.等差数列的定义；2.已知求;3.裂项相消；4.函数最值.