Question

某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万/辆,年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为, 则出厂价相应提高的比例为，年销售量也适当增加．设年利润=(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量

(1) 若年销售量增加的比例为，为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例应在什么范围内?

(2) 若本年度的销售量（辆）关于的函数为，则当为何值时,本年度的年利润最大?最大利润为多少?

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 当时,本年度的年利润比上年度有所增加

 (Ⅱ) 当时,本年度的年利润最大,最大利润为万元

【解析】（1）先求出上年度的利润万元，再求出本年度的利润，令>15000,解得；

（2）由题意得本年度的利润为，对函数求导研究其单调性，极值，也就得到函数的最值

(Ⅰ)由题意得:上年度的利润为万元

本年度每辆车的投入成本为万元

本年度每辆车的出厂价为万元

本年度年销售量为万元

因此本年度的利润为     3分

     4分

由

解得所以当时,本年度的年利润比上年度有所增    6分

(Ⅱ)本年度的利润为

则

由,解得或            10分

当时, ,是增函数;            11分

当时, ,是减函数;            12分

当时,取最大值万元,            13分

因此在上只有一个极大值,所以它是最大值

所以当时,本年度的年利润最大,最大利润为万元.