Question

（本小题满分12分）

某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为0．7x，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．

(Ⅰ)若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？

(Ⅱ)年销售量关于x的函数为y＝3240(－x²＋2x＋)，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 0<x<时，本年度的年利润比上年度有所增加．

(Ⅱ)当x＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．

【解析】（Ⅰ）根据题意，要使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？首先表示出本年度的年利润，根据原题中已知的年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的投入成本）×年销售量可表示出来．然后列出不等式得到x的取值范围．

（Ⅱ）根据题意，要使本年度的年利润最大，首先表示出本年度年利润的函数表达式，然后求出此函数的导数为零时x的值，并且考虑导数大于零和小于零时函数的增减性可知此时的x值对应的函数值是函数的最值．

(Ⅰ)由题意得，上年度的利润为(13－10)×5000＝15000万元；本年度每辆车的投入成本为10(1＋x)；本年度每辆车的出厂价为13(1＋0．7x)；本年度年销售量为5000(1＋0．4x)，因此本年度的利润为y＝[13(1＋0．7x)－10(1＋x)]·5000(1＋0．4x)＝(3－0．9x)·5000(1＋0．4x)＝－1800x²＋1500x＋15000(0<x<1)，由－1800x²＋1500x＋15000>15000，解得0<x<，x在此范围内，本年度的年利润比上年度有所增加．

   (Ⅱ)本年度的利润为f(x)＝(3－0．9x)·3240(－x²＋2x＋)＝3240×(0．9x³－4．8x²＋4．5x＋5)．则f′(x)＝3240(2．7x²－9．6x＋4．5)＝972(9x－5)(x－3)，由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3，当x∈(0，)时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当x∈(，1)时，f′(x)<0，f(x)是减函数．∴当x＝时，f(x)取极大值f()＝20000万元，∵f(x)在 (0,1)上只有一个极大值，∴它是最大值，∴当x＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．