Question

若f(x)=-

1

2

(x-2)2+

1

m

lnx在（1，+∞）上是减函数，则m的取值范围是（　　）

A．（-1，0）

B．（0，+∞）

C．[-1，0）

D．（0，1]

Answer 1

分析：先求导函数，要使函数f(x)=-

1

2

(x-2)2+

1

m

lnx （1，+∞）上是减函数，则需2-x+

1

mx

≤0在（1，+∞）上恒成立，通过分类变量可得

1

m

≤x(x-2)，只需求出g（x）=x²-2x，x∈（1，+∞）的取值范围即可建立不等式，解之即可求得m的取值范围．

解答：解：求得导函数为f′（x）=2-x+

1

mx

要使函数f(x)=-

1

2

(x-2)2+

1

m

lnx在（1，+∞）上是减函数，则需2-x+

1

mx

≤0在（1，+∞）上恒成立，
变形可得

1

m

≤x(x-2)=x²-2x
构造函数g（x）=x²-2x，x∈（1，+∞），可求得g（x）＞g（1）=-1，故只需

1

m

≤-1，
即

m+1

m

≤0，解得-1≤m＜0，即m∈[-1，0）．
故选C．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，解题的关键是求导函数，将问题转化为2-x+

1

mx

≤0在（1，+∞）上恒成立，属中档题．