题目内容

已知函数f(x)=
1
2
sin2x(
1
tan
x
2
-tan
x
2
)+
3
2
cos2x．
（1）求f（x）的单调的递减区间；
（2）若f(x)=
1
2
，求x的值．
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x+
π
3
），令 2kπ+
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
3π
2
，k∈z，求得x的范围，即可求得f（x）的单调的递减区间．
（2）由f(x)=
1
2
，可得sin（2x+
π
3
）=
1
2
，故 2x+
π
3
=2kπ+
π
6
，或2x+
π
3
=2kπ+
5π
6
，k∈z，由此求得x的值．
解答：解：（1）∵函数f(x)=
1
2
sin2x(
1
tan
x
2
-tan
x
2
)+
3
2
cos2x=
1
2
sin2x•
cosx
1
2
sinx
+
3
2
cos2x=
1
2
sin2x+
3
2
cos2x=sin（2x+
π
3
），
令 2kπ+
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
3π
2
，k∈z，解得 kπ+
π
12
≤2x+
π
3
≤kπ+
7π
12
，k∈z，
故f（x）的单调的递减区间为[kπ+
π
12
，kπ+
7π
12
]，k∈z．
（2）由f(x)=
1
2
，可得sin（2x+
π
3
）=
1
2
，故 2x+
π
3
=2kπ+
π
6
，或2x+
π
3
=2kπ+
5π
6
，k∈z．
解得 x=kπ-
π
12
，或 x=kπ+
π
4
，k∈z．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调减区间，根据三角函数的值求角，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（1）、已知函数f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函数f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的图象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一个函数g（x）的图象，求g（x）的解析式．
已知函数f(x)=(1-
a
x
)ex，若同时满足条件：
①?x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
则实数a的取值范围是（　　）
已知函数f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函数在区间(a，a+
1
2
)上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求实数k的取值范围．
已知函数f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)与f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．
定义在D上的函数f（x）如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，1]上是以3为上界的有界函数，求m的取值范围．

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