Question

若f(x)=

1

2

(x-1)2+a的定义域和值域都是[1，b]，则a+b=

4

．

Answer 1

分析：根据函数f（x）的定义域和值域都是[1，b]，先把x=1代入函数解析式求出最小值，由最小值等于1求出a的值，再由x=b时函数有最大值b求解b．

解答：解：因为二次函数f(x)=

1

2

(x-1)2+a在x=1时取得最小值为f(1)=

1

2

(1-1)2+a=a，
又该函数的定义域和值域都是[1，b]，所以a=1，
则当x=b时函数f（x）取得最大值f(b)=

1

2

(b-1)2+1=b，
解得：b=1（舍）或b=3，则a+b=4．
故答案为4．

点评：本题考查了函数定义域及其求法，考查了函数的值域，解答此题的关键是运用函数在[1，b]上是增函数，此题是基础题．