题目内容
19．设F1、F2是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+${\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}}^{\;}$=1（a＞b＞0）的左右焦点，P为直线x=$\frac{5a}{4}$上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆C的离心率为（ ）| A． | $\frac{5}{8}$ | B． | $\frac{\sqrt{10}}{4}$ | C． | $\frac{3}{4}$ | D． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
分析 设直线x=$\frac{5a}{4}$与x轴交于点Q，由已知得|PF2|=2|QF2|=$\frac{5a}{2}-2c=2c$，由此能求出椭圆C的离心率．
解答 
解：如图，设直线x=$\frac{5a}{4}$与x轴交于点Q，
由已知得∠PF1F2=∠F1PF2=30°，∠PF1Q=60°，PQ⊥x轴，
∴|PF2|=|F1F2|=2c，
∵P为直线x=$\frac{5a}{4}$上一点，∴|QF2|=$\frac{5a}{4}$-c，
∴|PF2|=2|QF2|=$\frac{5a}{2}-2c=2c$，
∴5a=8c，
∴椭圆C的离心率为e=$\frac{c}{a}=\frac{5}{8}$．
故选：A．
点评 本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质和数形结合思想的合理运用．
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14．点P（x0，y0）为双曲线C：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}$=1上一点，B1、B2为C的虚轴顶点，$\overrightarrow{P{B_1}}•\overrightarrow{P{B_2}}$＜8，则x0的范围是（ ）
| A． | $（-\frac{{6\sqrt{26}}}{13}\;，\;-2]∪[2\;，\;\frac{{6\sqrt{26}}}{13}）$ | B． | $（-\frac{{6\sqrt{26}}}{13}\;，\;-2）∪（2\;，\;\frac{{6\sqrt{26}}}{13}）$ | ||
| C． | $（-2\sqrt{2}\;，\;-2]∪[2\;，\;2\sqrt{2}）$ | D． | $（-2\sqrt{2}\;，\;-2）∪（2\;，\;2\sqrt{2}]$ |
如图，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，D为⊙O上一点，AD、BC相交于点E．
已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2$\sqrt{3}$．