Question

【题目】如图，在多面体ABD﹣A1B1C1D1中四边形A1B1C1D1，ADD1A1．ABB1A1均为正方形．点M是BD的中点．点H在线段C1M上，且A1H与平面ABD所成角的正弦值为．

（Ⅰ）证明：B1D1∥平面BC1D：

（Ⅱ）求二面角A﹣A1H﹣B的的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析　（Ⅱ）．

【解析】

(Ⅰ)构造正方体证明BD∥B1D1即可.

(Ⅱ)建立空间直角坐标系,利用A1H与平面ABD所成角的正弦值为可求得的坐标,再利用空间向量求二面角的方法求解即可.

（Ⅰ）证明：如图,构造正方体ABED﹣A1B1C1D1,

结合正方体ABED﹣A1B1C1D1,得BD∥B1D1,

∵BD平面BC1D,B1D1平面BC1D,

∴B1D1∥平面BC1D．

（Ⅱ）解：以D为原点,DA为x轴,DE为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,

设AD＝2,则M（1,1,0）,C1（0,2,2）,A1（2,0,2）,A（2,0,0）,B（2,2,0）,

设H（a,b,c）,,（0≤λ≤1）,则（a,b﹣2,c﹣2）＝（λ,﹣λ,﹣2λ）,

∴H（λ,2﹣λ,2﹣2λ）,

平面ABD的法向量（0,0,1）,（λ﹣2,2﹣λ,﹣2λ）,

∵A1H与平面ABD所成角的正弦值为．

∴,

解得,（舍负）,∴H（,,1）,

（,,﹣1）,（0,0,﹣2）,（0,2,﹣2）,

设平面AA1H的法向量（x,y,z）,

则,取x＝1,得（1,1,0）,

设平面A1HB的法向量（x,y,z）,

则,取y＝1,得（,1,1）,

设二面角A﹣A1H﹣B的平面角为θ,

则cosθ,

∴二面角A﹣A1H﹣B的正弦值为：

sinθ．