F1.F2 是椭圆x29+y27=1的两个焦点.A为椭圆上一点.且∠AF1F2=45°.则△AF1F2的面积为7272．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

F₁，F₂ 是椭圆

=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF₁F₂=45°，则△AF₁F₂的面积为

．

分析：根据椭圆的方程算出a=3、b=

，可得焦距|F₁F₂|=2

，由椭圆的定义得|AF₂|=6-|AF₁|．由此在△AF₁F₂中利用余弦定理解出|AF₁|长，根据正弦定理的面积公式即可算出△AF₁F₂的面积．

解答：解：由题意，可得
∵椭圆的方程为

=1，
∴a=3，b=

，可得c=

a2-b2

，
故焦距|F₁F₂|=2

，
∵根据椭圆的定义，得|AF₁|+|AF₂|=2a=6，
∴△AF₁F₂中，利用余弦定理得
|AF₁|²+|F₁F₂|²-2|AF₁|•|F₁F₂|cos45°=|AF₂|²=|AF₁|²-4|AF₁|+8，
即（6-|AF₁|）²=|AF₁|²-4|AF₁|+8，解之得|AF₁|=

故△AF₁F₂的面积为S=

|AF₁|•|F₁F₂|sin45°=

×2

．

点评：本题给出椭圆的焦点三角形满足的条件，求三角形的面积．着重考查了椭圆的定义与标准方程、余弦定理和三角形的面积公式等知识，属于中档题．

练习册系列答案

相关题目

=1上一动点，点F₁，F₂是椭圆的左右两焦点．
（1）求该椭圆的长轴长、右准线方程；
（2）一抛物线以椭圆的中心为顶点、椭圆的右准线为准线，求抛物线标准方程；
（3）当∠F₁PF₂=30°时，求△PF₁F₂的面积；
（4）点Q是圆F₂：（x-5）²+y²=25上一动点，求PF₁+PQ的最小值．

（2012•黑龙江）设F₁、F₂是椭圆E：

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x=

上一点，△F₂PF₁是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（　　）

，F₁，F₂是椭圆的焦点，P为椭圆上一点，且|PF₁|+|PF₂|=4．
（Ⅰ）求此椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求证：直线y=x+

与椭圆C有且仅有一个公共点．

设F₁、F₂是椭圆E：

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=

上一点，△F₂PF₁是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为

．

设F₁、F₂是椭圆E：

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=-

a上一点，△F₁PF₂是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（　　）

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