Question

设F₁、F₂是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=

3a

2

上一点，△F₂PF₁是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为

3

4

．

Answer 1

分析：利用△F₂PF₁是底角为30°的等腰三角形，可得|PF₂|=|F₂F₁|，根据P为直线x=

3a

2

上一点建立方程，由此可求椭圆的离心率．

解答：解：设x=

3a

2

交x轴于点M，
∵△F₂PF₁是底角为30°的等腰三角形
∴∠PF₂F₁=120°，|PF₂|=|F₂F₁|，且|PF₂|=2|F₂M|
∵P为直线x=

3a

2

上一点，
∴2（

3a

2

-c）=2c，解之得3a=4c
∴椭圆E的离心率为e=

c

a

=

3

4

故答案为：

3

4

点评：本题给出与椭圆有关的等腰三角形，在已知三角形形状的情况下求椭圆的离心率．着重考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．