Question

已知点F₁，F₂为双曲线的左、右焦点，过F₂作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线于点M，且，圆O的方程为x²+y²=b²．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若双曲线C上的点到两条渐近线的距离分别为d₁，d₂，求d₁•d₂的值；
（3）过圆O上任意一点P（x，y）作切线l交双曲线C于A，B两个不同点，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设F₂，M的坐标，利用点M在双曲线C上，∠MF₁F₂=30°，可得，利用双曲线的定义，可得双曲线C的方程；
（2）先确定两条渐近线方程，设双曲线C上的点Q（x，y），求出点Q到两条渐近线的距离，结合Q（x，y）在双曲线C上，即可求d₁•d₂的值；
（3）解一：利用圆的参数方程设P的坐标，求出切线l的方程代入双曲线，两边除以x²，再利用韦达定理，即可得到结论；
解二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），切线l的方程为：xx+yy=2代入双曲线C中，利用韦达定理，结合向量的数量积，可得结论．
解答：解：（1）设F₂，M的坐标分别为-------------------（1分）
因为点M在双曲线C上，所以，即，所以------------（2分）
在Rt△MF₂F₁中，∠MF₁F₂=30°，，所以------------（3分）
由双曲线的定义可知：
故双曲线C的方程为：-------------------（4分）
（2）由条件可知：两条渐近线分别为-------------------（5分）
设双曲线C上的点Q（x，y），
则点Q到两条渐近线的距离分别为-------------------（7分）
所以-------------------（8分）
因为Q（x，y）在双曲线C：上，所以-------------------（9分）
故-------------------（10分）
（3）解一：因为P（x，y）为圆O：x²+y²=2上任意一点，设
所以切线l的方程为：-------------------（12分）
代入双曲线C：2x²-y²=2=（xcosα+ysinα）²
两边除以x²，得-------------------（13分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则是上述方程的两个根
由韦达定理知：，即x₁x₂+y₁y₂=0-------------------（15分）
所以-------------------（16分）
解二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），切线l的方程为：xx+yy=2-------------------（12分）
①当y≠0时，切线l的方程代入双曲线C中，化简得：
所以：-------------------（13分）
又
所以-----------（15分）
②当y=0时，易知上述结论也成立．
所以-------------------（16分）
点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查圆的切线方程，考查韦达定理的运用，考查向量知识，属于中档题．