Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足：对任意的x∈（0，+∞），f′（x）＞0恒成立且f（xy）=f（x）+f（y），且f（2）=1，则不等式f（x）+f（x-3）≤2的解集为

{x|3＜x≤4}

．

Answer 1

分析：根据对任意的x∈（0，+∞），f′（x）＞0恒成立，可得f（x）在（0，+∞）上单调递增，根据恒等式，将不等式变形为f（x²-3x）≤2，再将2代换成f（4），根据函数的单调性，去掉“f”，列出关于x的不等关系，求解即可得到解集．

解答：解：∵对任意的x∈（0，+∞），f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增函数，
∵f（xy）=f（x）+f（y），且f（2）=1，
∴f（4）=f（2）+f（2）=2，
根据恒等式f（xy）=f（x）+f（y），则不等式f（x）+f（x-3）≤2可变形为f（x²-3x）≤2，
又f（4）=2，
∴f（x²-3x）≤f（4），
∵f（x）是定义在（0，+∞）上单调递增函数，
∴

x＞0 x-3＞0 x2-3x≤4

，解得3＜x≤4，
∴不等式f（x）+f（x-3）≤2的解集为{x|3＜x≤4}．
故答案为：{x|3＜x≤4}．

点评：本题考查了函数的单调性，以及利用函数的单调新求解不等式，对不等式的恒等变形时要注意函数的定义域的限制．利用所给恒等式的求值，关键是进行合适的赋值．同时还考查了函数的导数的正负对应着函数的单调性，属于中档题．