Question

【题目】设点在圆上，直线上圆在点处的切线，过点作圆的切线与交于点．

（Ⅰ）证明为定值，并求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与曲线分别交于和，且，求四边形面积的最小值．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】分析：（1）设与圆相切于点，根据题意得，进而得，利用椭圆的定义，即可求解椭圆的方程．

（2）（ⅰ）当直线的斜率为零或斜率不存在时，四边形的面积为；

（ⅱ）当直线的斜率存在且不为零时，设：，联立方程组，得，得到，同理得，进而得到四边形面积的表达式，利用基本不等式，即可求解四边形面积的最小值．

详解：（1）设与圆相切于点，作轴于点，因为，

所以，

而，

又因为，所以，动点的轨迹为椭圆，

，，所以点的轨迹的方程为：．

（2）（ⅰ）当直线的斜率为零或斜率不存在时，四边形的面积为；

（ⅱ）当直线的斜率存在且不为零时，设：，

，，由得：，

由， ，，

所以，

而：，所以同理得：，

所以，令 （），则，所以，

所以，即时，四边形面积的最小值．