题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
的右准线方程为x＝4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为
.
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线l的斜率．
【答案】(1)
；(2)
【解析】
(1)设出直线l的方程，利用点到直线的距离公式得出
，再由椭圆的准线方程得出
，联立求解即可得出椭圆方程；
(2)求出直线BF的方程，联立椭圆方程与直线BF的方程，求出点P的坐标，再由A，P两点的坐标求出斜率即可.
解：(1)由题意知，直线l的方程为
，即
，
所以右焦点F到直线l的距离为
，所以——①
又椭圆C的右准线方程为x＝4，即
，所以——②
联立①②解得a＝2，c＝1所以
所以椭圆C的标准方程为.
(2)由(1)知
．
所以直线BF的标准方程为
联立方程组，得
解得
或
(舍)．
即
，所以直线l的斜率
.
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