题目内容
【题目】已知函数
在
处取得极值.
（1）求
的单调递增区间；
（2）若关于
的不等式
至少有三个不同的整数解，求实数
的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为
. （2）
【解析】
（1）根据函数极值点定义可知
，由此构造方程求得
，得到
；令
即可求得函数的单调递增区间；
（2）将原问题转化为
至少有三个不同的整数解；通过
的单调性可确定函数的图象，结合
，
和
的值可确定
所满足的范围，进而得到不等式，解不等式求得结果.
（1）由题意得：定义域为
，
，
在
处取得极值，
，解得：
，
，
.
由得：
，
的单调递增区间为
.
（2）
，
等价于.
由（1）知：
时，；
时，
，
在上单调递增，在
上单调递减，
又
时，
；
时，
，可得图象如下图所示：
，
，
，
若至少有三个不同的整数解，则
，解得：
.
即
的取值范围为：
.
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