题目内容
设函数f（x）=3ax2-2（a+c）x+c，（a＞c＞0）．（1）判断函数f（x）在区间[1，+∞）的单调性；
（2）函数f（x）在区间（0，1）内是否有零点，有几个零点？为什么？
分析：（I）由题意可得：二次函数的对称轴为x=
，由条件可得：2a＞a+c，所以x=
＜
=
＜1，进而得到答案．
（II）二次函数的对称轴是x=
，因为f（0）=c＞0，f（1）=a-c＞0，而f(
)=-
=-
＜0，根据根的存在性定理即可得到答案．
| a+c |
| 3a |
| a+c |
| 3a |
| 2a |
| 3a |
| 2 |
| 3 |
（II）二次函数的对称轴是x=
| a+c |
| 3a |
| a+c |
| 3a |
| a2+c2-ac |
| 3a |
| (a-c)2+ac |
| 3a |
解答：解：（I）因为二次函数f（x）=3ax2-2（a+c）x+c的图象的对称轴x=
，
因为由条件a＞c＞0，得2a＞a+c，
所以x=
＜
=
＜1，
所以二次函数f（x）的对称轴在区间[1，+∞）的左边，且抛物线的开口向上，
所以f（x）在区间[1，+∞）是增函数．
（II）由（I）可得：二次函数f（x）=3ax2-2（a+c）x+c图象的对称轴是x=
．
因为f（0）=c＞0，f（1）=a-c＞0，而f(
)=-
=-
＜0，
所以函数f（x）在区间(0，
)和(
，1)内分别有一零点．
故函数f（x）在区间（0，1）内有两个零点．
| a+c |
| 3a |
因为由条件a＞c＞0，得2a＞a+c，
所以x=
| a+c |
| 3a |
| 2a |
| 3a |
| 2 |
| 3 |
所以二次函数f（x）的对称轴在区间[1，+∞）的左边，且抛物线的开口向上，
所以f（x）在区间[1，+∞）是增函数．
（II）由（I）可得：二次函数f（x）=3ax2-2（a+c）x+c图象的对称轴是x=
| a+c |
| 3a |
因为f（0）=c＞0，f（1）=a-c＞0，而f(
| a+c |
| 3a |
| a2+c2-ac |
| 3a |
| (a-c)2+ac |
| 3a |
所以函数f（x）在区间(0，
| a+c |
| 3a |
| a+c |
| 3a |
故函数f（x）在区间（0，1）内有两个零点．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，以及根的存在性定理．
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