Question

设函数f（x）=a^x+3a（其中a＞0且a≠1）．
（1）求函数y=f^-1（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=log_a（x-a），h（x）=f^-1（x）+g（x），如果当x∈[a+2，+∞）时，h（x）≤1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据求反函数的基本方法求出反函数即可；
（2）先求出h（x）的解析式，依题意，a+2＞3a⇒0＜a＜1，根据h（x）≤1即x²-4ax+3a²-a≥0，设T（x）=x²-4ax+3a²-a，求出函数T（x）的最小值，使最小值大于等于0，即可求出a的取值范围．

解答：解：（1）f^-1（x）=log_a（x-3a），x∈（3a，+∞）．…（4分）
（2）h（x）=f^-1（x）+g（x）=log_a（x-3a）+log_a（x-a）=log_a（x²-4ax+3a²），x∈（3a，+∞）．…（6分）
依题意，a+2＞3a⇒0＜a＜1．…（8分）
由h（x）≤1⇒log_a（x²-4ax+3a²）≤1⇒x²-4ax+3a²≥a，即x²-4ax+3a²-a≥0．…（10分）
设T（x）=x²-4ax+3a²-a，其对称轴x=2a＜a+2，所以函数T（x）在[a+2，+∞）单调递减．
由T（x）_min=T（a+2）=（a+2）²-4a（a+2）+3a²-a=4-5a≥0，解得a≤

4

5

．…（13分）
又0＜a＜1，所以a的取值范围是( 0 ， 

4

5

 ]．…（14分）

点评：本题主要考查了反函数，以及利用函数的单调性解恒成立问题，属于中档题．