题目内容

某俱乐部举行迎圣诞活动，每位会员交50元活动费，可享受20元的消费，并参加一次游戏：掷两颗正方体骰子，点数之和为12点获一等奖，奖价值为a元的奖品；点数之和为11或10点获二等奖，奖价值为100元的奖品；点数之和为9或8点获三等奖，奖价值为30元的奖品；点数之和小于8点的不得奖．求：
（Ⅰ）同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率；
（Ⅱ）如该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利，求a的值．

解：（Ⅰ）设掷两颗正方体骰子所得的点数记为（x，y），
其中1≤x，y≤6，
则获一等奖只有（6，6）一种可能，
其概率为： $\text{[math]}$ ； …（2分）
获二等奖共有（6，5）、（5，6）、（4，6）、（6，4）、（5，5）共5种可能，
其概率为： $\text{[math]}$ ； …（5分）
设事件A表示“同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖”，
则有：P（A）= $\text{[math]}$ ，
故同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率为 $\text{[math]}$ ．…（6分）
（Ⅱ）设俱乐部在游戏环节收益为ξ元，
则ξ的可能取值为30-a，-70，0，30，
P（ξ=30-a）= $\text{[math]}$ ，
P（ξ=-70）= $\text{[math]}$ ，
Pξ=0）= $\text{[math]}$ ，
P（ξ=30）= $\text{[math]}$ ．
其分布列为：

ξ	30-a	-70	0	30
p	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

…（7分）
则：Eξ= $\text{[math]}$ ； …（12分）
由Eξ=0得：a=310，即一等奖可设价值为310元的奖品．
故该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利，a的值就为310元．…（13分）
分析：（Ⅰ）设掷两颗正方体骰子所得的点数记为（x，y），其中1≤x，y≤6，则获一等奖只有（6，6）一种可能，获二等奖共有（6，5）、（5，6）、（4，6）、（6，4）、（5，5）共5种可能，由此能求出同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率．
（Ⅱ）设俱乐部在游戏环节收益为ξ元，则ξ的可能取值为30-a，-70，0，30，分别求出P（ξ=30-a），P（ξ=-70），P（ξ=0），P（ξ=30）的值，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要认真审题，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，体现了化归的重要思想．