题目内容
（2005•闸北区一模）已知函数f(x)=sin(x+
)-cos(x+
)+cosx，
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期，并写出其所有单调递减区间；
（Ⅱ）若x∈[-
，
]，求函数f（x）的最大值M与最小值m．
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期，并写出其所有单调递减区间；
（Ⅱ）若x∈[-
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
分析：（Ⅰ）把函数解析式的第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，第二项利用两角和与差的余弦函数公式化简，合并后，提取2，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期，根据正弦函数的单调递减区间即可得到函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）由x的范围，求出第一问化简后的正弦函数中角的范围，根据正弦函数的图象与性质即可得到函数f（x）的最大值M和最小值m．
（Ⅱ）由x的范围，求出第一问化简后的正弦函数中角的范围，根据正弦函数的图象与性质即可得到函数f（x）的最大值M和最小值m．
解答：解：（Ⅰ）f(x)=sin(x+
)-cos(x+
)+cosx
=
sinx+
cosx-（
cosx-
sinx）+cosx
=
sinx+cosx
=2sin（x+
），
∵ω=1，∴T=2π，
令2kπ+
≤x+
≤2kπ+
，解得：2kπ+
≤x≤2kπ+
，
则函数的单调递减区间：[2kπ+
，2kπ+
](k∈Z)；
（Ⅱ）x∈[-
，
]⇒x+
∈[-
，
]⇒M=f(
)=2，m=f(-
)=-
．
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
=
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
=
| 3 |
=2sin（x+
| π |
| 6 |
∵ω=1，∴T=2π，
令2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
则函数的单调递减区间：[2kπ+
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
（Ⅱ）x∈[-
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 3 |
点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，特殊角的三角函数值，周期公式以及正弦函数的图象与性质，利用三角函数的恒等变换把函数解析式化为一个角的三角函数是求函数周期的关键，同时要求学生熟练掌握正弦函数的图象与性质．
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