Question

（本小题12分） 定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x₀，有f（x₀）= x₀，则称x₀是f（x）的一个不动点．已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）．

   （1）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点；

   （2）若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围；

   （3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上两个点A、B的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+对称，求b的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（１）-1或3；（２）0<a<1；（３）b_min=-1

【解析】（1）f（x）=x²-x-3，由x²-x-3=x，解得 x=3或-1，

所以所求的不动点为-1或3．                        ………………………3分

       （2）令ax²+（b+1）x+b-1=x，则ax²+bx+b-1=0       ①

       由题意，方程①恒有两个不等实根，所以△=b²-4a（b-1）>0，

       即b²-4ab+4a>0恒成立，………………………………5分

       则△¢=16a²-16a＜0，故0<a<1 …………………………7分[来源:学+科+网Z+X+X+K]

       （3）设A（x₁，x₁），B（x₂，x₂）（x₁≠x₂），则k_AB=1，∴k=﹣1，

       所以y=-x+，                 ……………………………………8分

       又AB的中点在该直线上，所以=﹣+，

       ∴x₁+x₂=，

       而x₁、x₂应是方程①的两个根，所以x₁+x₂=﹣，即﹣=，

       ∴b=﹣                   …………………………………………10分

       =-=-

       ∴当 a=∈（0，1）时，b_min=-1               ．………………………………12分