Question

已知集合A={x|x²+a≤（a+1）x，a∈R}．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a＞0，以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为S_n，对于任意的n∈N₊，均有S_n∈A，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）A={x|x²+a≤（a+1）x，a∈R}={x|（x-1）（x-a）≤0，a∈R}．
（1）a≥1时，A={x|1≤x≤a}；
（2）a＜1时，A={x|a≤x≤1}
（Ⅱ）（i）当a≥1时，A={x|1≤x≤a}．
而S₂=a+a²＞a，S₂∉A，故a≥1时，不存在满足条件的a；

（ii）当0＜a＜1时，A={a≤x≤1}，Sn=

a(1-an)

1-a

，Sn-a=

a(1-an)

1-a

-a=

a2-an+1

1-a

≥0，∴S_n≥a，
又aⁿ＞0，∴Sn＜

a

1-a

对任意的n∈N₊，S_n∈A，只须a满足

0＜a＜1 a 1-a ≤1

，解得0＜a≤

1

2

．
综上所述，a的取值范围是0＜a≤

1

2

．