题目内容
4．过焦点在x轴上的椭圆$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，若△AF1B的周长为20，则实数m的值为（ ）| A． | 5 | B． | 25 | C． | 10 | D． | 100 |
分析 由题意可得椭圆的a=$\sqrt{m}$，由椭圆的定义可得AF1+AF2=BF1+BF2=2a，可得△AF1B的周长为4a，解方程可得m．
解答 解：由题意可得椭圆$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的a=$\sqrt{m}$，b=4，
由椭圆的定义可得AF1+AF2=BF1+BF2=2a，
即有△AF1B的周长为AB+AF1+AF2=AF1+AF2+BF1+BF2=4a，
由4$\sqrt{m}$=20，解得m=25．
故选：B．
点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆定义法的运用，考查运算能力，属于基础题．
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如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2$\sqrt{2}$．
15．已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在x轴上，从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录于下表中：
（1）求椭圆C1和抛物线C2的标准方程；
（2）过椭圆C1右焦点F的直线l与此椭圆相交于A，B两点，若点P为直线x=4上任意一点．
①求证：直线PA，PF，PB的斜率成等差数列；
②若点P在x轴上，设$\overrightarrow{FA}$=λ$\overrightarrow{FB}$，λ∈[-2，-1]，求|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|取最大值时的直线l的方程．
| x | -$\sqrt{2}$ | 2 | $\sqrt{6}$ | 9 |
| y | $\sqrt{3}$ | -$\sqrt{2}$ | -1 | 3 |
（2）过椭圆C1右焦点F的直线l与此椭圆相交于A，B两点，若点P为直线x=4上任意一点．
①求证：直线PA，PF，PB的斜率成等差数列；
②若点P在x轴上，设$\overrightarrow{FA}$=λ$\overrightarrow{FB}$，λ∈[-2，-1]，求|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|取最大值时的直线l的方程．
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A、B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为$\sqrt{2}$．
13．已知倾斜角为45°的直线l过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，则△OAB（其中O为坐标原点）的面积为（ ）
| A． | 2 | B． | $2\sqrt{2}$ | C． | $3\sqrt{2}$ | D． | 8 |