Question

已知数列是公差为的等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为.
证明： .

Answer 1

（1）;（2）证明见解析.

解析试题分析：（1）根据题意，要求，首先求，因为数列是等差数列，且首项为1，公差为2，由等差数列的通项公式可立即得到，从而得；（2）要证明相应的不等式，应该先求数列的前项和，为此要明确这个数列是什么数列，从（1）知数列是一个等差数列相邻项相乘取倒数所得，因此其前项和宜采用裂项相消的方法求得，具体就是，这样在和式中，前后项可相消为零，从而，从而可知数列是递增数列，最小项为，又从表达式可知，不等式得证.
试题解析：（1）由已知是公差为的等差数列， ，又，        3分
        5分
（2）        7分


        9分
，随的增大而增大，        11分
又        12分
.        13分
考点：（1）数列的通项公式；（2）裂项相消法求数列的和，数列的单调性与不等式的证明.