Question

设函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），a∈R．
（I）若函数f（x）在[2，+∞）上为单调增函数，求实数a的取值范围；
（II）若a=1，试在函数f（x）的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且两切点的横坐标均在区间[-

1

2

，2]上．

Answer 1

分析：（I）利用函数f（x）在[2，+∞）上为单调增函数，则得到f'（x）≥0恒成立．
（Ⅱ）当a=1时，求函数的导数，利用这两点为切点的切线互相垂直，得到两点的导数值之积为-1，然后求解切点坐标．

解答：解：（I）要使函数f（x）在[2，+∞）上为单调增函数，则f'（x）≥0恒成立．
函数的导数为f'（x）=a-

a+1

x+1

=

ax+a-a-1

x+1

=

ax-1

x+1

，由f'（x）≥0得

ax-1

x+1

≥0，因为x≥2，所以ax-1≥0，
ax≥1，即a≥

1

x

即可．因为函数y=

1

x

在[2，+∞）上为单调递减函数，所以y≤

1

2

，所以要使a≥

1

x

恒成立，则有a≥

1

2

．
即满足条件的实数a的取值范围[

1

2

，+∞）．
（Ⅱ）若a=1，则f（x）=x-2ln（x+1），f′(x)=1-

2

x+1

=

x-1

x+1

．，设这两个切点分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
f′（x1）f′（x2）=

x1-1

x1+1

?

x2-1

x2+1

=-1，整理得x₁x₂=-1，即x2=-

1

x1

．
因为两切点的横坐标均在区间[-

1

2

，2]上．所以-

1

2

≤x1≤2，-

1

2

≤x2≤2，即-

1

2

≤-

1

x1

≤2．
①若x₁＞0，则由不等式-

1

2

≤-

1

x1

≤2解得x₁≥2，所以此时x₁=2，x2=-

1

2

．
②若x₁＜0，则由不等式-

1

2

≤-

1

x1

≤2解得x1≤-

1

2

，所以此时x1=-

1

2

，x2=2．
当x=2时，f（2）=2-2ln3，当x=-

1

2

时，f(-

1

2

)=-

1

2

-2ln(1-

1

2

)=-

1

2

-2ln?

1

2

=2ln?2-

1

2

，
即两切点的坐标分别为（2，2-2ln3），(-

1

2

，2ln2-

1

2

)．

点评：本题的考点是利用导数研究函数的单调性，以及利用导数的几何意义求切点坐标，运算量较大，比较综合．