Question

六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
（l）甲不站两端；
（2）甲、乙必须相邻；
（3）甲、乙不相邻；
（4）甲、乙之间间隔两人；
（5）甲不站左端，乙不站右端．

Answer 1

分析：（l）现在中间的4个位中选一个，排上甲，方法有4种；其余的人任意排，方法有

A

5 5

种，再根据分步计数原理求得结果．
（2）把甲乙看成一个整体，这样6个人变成了5个人，全排列共有

A

2 2

•

A

5 5

种站法．
（3）先把其余的4个人全排列，然后再把甲乙插入其余4人形成的5个空中，方法共有

A

4 4

•

A

2 5

（种））．
（4）先把甲乙排好，有

A

2 2

种方法，再从其余的4人中选出2人放到甲乙中间，方法有

A

2 4

种．把排好的这4个人看做一个整体，再与其他的2个人进行排列，方法有

A

3 3

种．根据分步计数原理，求得结果．
（5）当甲在中间时，先排甲，有4种方法，再排乙，有4种方法，最后，其余的人任意排，有

A

4 4

种方法，根据分步计数原理，方法共有4×4×

A

4 4

=384种．当甲在右端时，其余的5个人任意排，共有

A

5 5

=120种排法．相加即得所求．

解答：解：（l）现在中间的4个位中选一个，排上甲，方法有4种；其余的人任意排，方法有

A

5 5

种，故共有

A

1 4

•

A

5 5

=480 （种）．
（2）把甲乙看成一个整体，这样6个人变成了5个人，全排列共有

A

2 2

•

A

5 5

=240 （种）站法．
（3）先把甲乙二人单独挑出来，把其余的4个人全排列，然后再把甲乙插入其余4人形成的5个空中，
方法共有

A

4 4

•

A

2 5

=480 （种））．
（4）先把甲乙排好，有

A

2 2

种方法，再从其余的4人中选出2人放到甲乙中间，方法有

A

2 4

种．
把排好的这4个人看做一个整体，再与其他的2个人进行排列，方法有

A

3 3

种．
根据分步计数原理，求得甲、乙之间间隔两人的排法共有

A

2 2

•

A

2 4

•

A

3 3

=144种．
（5）当甲在中间时，先排甲，有4种方法，再排乙，有4种方法，最后，其余的人任意排，有

A

4 4

种方法，
根据分步计数原理，方法共有4×4×

A

4 4

=384种．
当甲在右端时，其余的5个人任意排，共有

A

5 5

=120种排法．
故甲不站左端，乙不站右端的排法有384+120=504种．

点评：本题主要考查排列组合的实际应用，本题解题的关键是对于有限制的元素要优先排，特殊位置要优先排．相邻的问题用捆绑法，不相邻的问题用插空法，体现了分类讨论的数学思想，是一个中档题目．