Question

（2012•浙江）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2

3

的菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=2

6

，M，N分别为PB，PD的中点．
（1）证明：MN∥平面ABCD；
（2）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）连接BD，利用三角形的中位线的性质，证明MN∥BD，再利用线面平行的判定定理，可知MN∥平面ABCD；
（2）方法一：连接AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，求出平面AMN的法向量

m

=(2

2

，0，-1)，利用向量的夹角公式，即可求得二面角A-MN-Q的平面角的余弦值；
方法二：证明∠AEQ为二面角A-MN-Q的平面角，在△AED中，求得AE=

3 3

2

，QE=

11

2

，AQ=2

2

，再利用余弦定理，即可求得二面角A-MN-Q的平面角的余弦值．

解答：（1）证明：连接BD．∵M，N分别为PB，PD的中点，
∴在△PBD中，MN∥BD．
又MN?平面ABCD，BD?平面ABCD
∴MN∥平面ABCD；
（2）方法一：连接AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，在菱形ABCD中，∠BAD=120°
，得AC=AB=2

3

，BD=

3

AB=6
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC
在直角△PAC中，AC=2

3

，PA=2

6

，AQ⊥PC得QC=2，PQ=4，由此知各点坐标如下
A（-

3

，0，0），B（0，-3，0），C（

3

，0，0），D（0，3，0），P（-

3

，0，2

6

），M（-

3

2

，-

3

2

，

6

），N（-

3

2

，

3

2

，

6

）
Q（

3

3

，0，

2 6

3

）
设

m

=（x，y，z）为平面AMN的法向量，则

AM

=(

3

2

，-

3

2

，

6

)，

AN

=(

3

2

，

3

2

，

6

)．
∴

3 2 x- 3 2 y+ 6 z=0 3 2 x+ 3 2 y+ 6 z=0

，取z=-1，

m

=(2

2

，0，-1)，
同理平面QMN的法向量为

n

=(2

2

，0，5)
∴cos＜

m

，

n

＞ =

m • n

| m || n |

=

33

33

∴所求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值为

33

33

．
方法二：在菱形ABCD中，∠BAD=120°，得AC=AB=BC=CD=DA=2

3

，BD=

3

AB=6
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥AD，∴PB=PC=PD，∴△PBC≌△PDC
而M，N分别是PB，PD的中点，∴MQ=NQ，且AM=

1

2

PB=

1

2

PD=AN
取MN的中点E，连接AE，EQ，则AE⊥MN，QE⊥MN，所以∠AEQ为二面角A-MN-Q的平面角
由AB=2

3

，PA=2

6

，AM=AN=3，MN=3可得AE=

3 3

2

在直角△PAC中，AQ⊥PC得QC=2，PQ=4，AQ=2

2

在△PBC中，cos∠BPC=

5

6

，∴MQ=

PM2+PQ2-2PM•PQcos∠BPC

=

5

在等腰△MQN中，MQ=NQ=

5

．MN=3，∴QE=

11

2

在△AED中，AE=

3 3

2

，QE=

11

2

，AQ=2

2

，∴cos∠AEQ=

33

33

∴所求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值为

33

33

．

点评：本题考查线面平行，考查面面角，解题的关键是利用线面平行的判定定理，掌握面面角的两种求解方法，属于中档题．