Question

（2012•浙江）如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，其左焦点到点P（2，1）的距离为

10

，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求△APB面积取最大值时直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意，根据离心率为

1

2

，其左焦点到点P（2，1）的距离为

10

，建立方程，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点为M，当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=0，与不过原点的条件不符，故设AB的方程为y=kx+m（m≠0）由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，消元再利用韦达定理求得线段AB的中点M，根据M在直线OP上，可求|AB|，P到直线AB的距离，即可求得△APB面积，从而问题得解．

解答：解：（Ⅰ）由题意

(2+c)2+1 = 10 c a = 1 2

，解得：

c=1 a=2

．
∴所求椭圆C的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点为M
当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=0，与不过原点的条件不符，故设AB的方程为y=kx+m（m≠0）
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，消元可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0①
∴x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

∴线段AB的中点M( -

4km

3+4k2

，

3m

3+4k2

)
∵M在直线OP上，∴-

2km

3+4k2

=

3m

3+4k2

∴k=-

3

2

故①变为3x²-3mx+m²-3=0，又直线与椭圆相交，
∴△＞0，x₁+x₂=m，x1x2=

m2-3

3

∴|AB|=

39

6

×

12-m2

P到直线AB的距离d=

2|m-4|

13

∴△APB面积S=

1

2

|AB|d=

3

6

×

(m-4)2(12-m2)

（m∈（-2

3

，0）∪(0，2

3

)
令u（m）=（12-m²）（m-4）²，则u′(m)=-4(m-4)(m-1-

7

)(m-1+

7

)
∴m=1-

7

，u（m）取到最大值
∴m=1-

7

时，S取到最大值
综上，所求直线的方程为：3x+2y+2

7

-2=0

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查导数知识的运用，属于中档题．