Question

（2012•浙江）如图，F₁，F₂分别是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的在左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F₁B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF₂|=|F₁F₂|则C的离心（　　）

• A．

  2 3

  3

• B．

  6

  2

• C．

  2

• D．

  3

Answer 1

分析：确定PQ，MN的斜率，求出直线PQ与渐近线的交点的坐标，得到MN的方程，从而可得M的横坐标，利用|MF₂|=|F₁F₂|，即可求得C的离心率．

解答：解：|OB|=b，|O F₁|=c．∴k_PQ=

b

c

，k_MN=-

c

b

．
直线PQ为：y=

b

c

（x+c），两条渐近线为：y=±

b

a

x．
由

y= b c (x+c) y= b a x

，得Q（

ac

c-a

，

bc

c-a

）；由

y= b c (x+c) y=- b a x

得P(

-ac

c+a

，

bc

c+a

)．
∴直线MN为y-

bc2

c2-a2

=-

c

b

(x-

a2c

c2-a2

)，
令y=0得：x_M=c(1+

a2

b2

)．
又∵|MF₂|=|F₁F₂|=2c，
∴3c=x_M=c(1+

a2

b2

)，
∴3a²=2c²
解之得：e2=

3

2

，即e=

6

2

．
故选B．

点评：本题考查双曲线的几何形状，考查解方程组，考查学生的计算能力，属于中档题．