题目内容

（2012•荆州模拟）已知数列{an}、{bn}，an＞0，a1=6，点An(an，
an+1
)在抛物线y2=x+1上；点Bn（n，bn）在直线y=2x+1上．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）若f(n)=
an
bn
n为奇数
n为偶数
，问是否存在k∈N*，使f（k+15）=2f（k）成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由；
（3）对任意正整数n，不等式
an
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+bn)
-
an-1
n-2+an
≤0成立，求正实数a的取值范围．
分析：（1）由点An(an，
an+1
)在抛物线y2=x+1上，知an+1=an+1，由此能求出an=n+5．由点Bn（n，bn）在直线y=2x+1上．能求出bn=2n+1．
（2）由f(n)=
an，n为奇数
bn，n为偶数
，知当k为奇数时，k+15为偶数，故2（k+15）+1=2（k+5），显然不成立．当k为偶数时，k+15为奇数，则有k+20=2（2k+1），由此能求出k．
（3）由
an
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+bn)
-
an-1
n-2+an
≤0，得：a≤
1
2n+3
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)，记g（n）=
1
2n+3
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)，由此能求出正实数a的取值范围．
解答：解：（1）∵点An(an，
an+1
)在抛物线y2=x+1上，
∴an+1=an+1，
∵an＞0，a1=6，
∴{an}是首项a1=6，公差d=an+1-an=1的等差数列，
∴an=n+5．
∵点Bn（n，bn）在直线y=2x+1上．
∴bn=2n+1…（4分）
（2）f(n)=
an，n为奇数
bn，n为偶数
，
当k为奇数时，k+15为偶数，
∴2（k+15）+1=2（k+5），显然不成立．
当k为偶数时，k+15为奇数，则有k+20=2（2k+1），解得k=6．…（8分）
（3）由
an
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+bn)
-
an-1
n-2+an
≤0，
得：a≤
1
2n+3
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)，
记g（n）=
1
2n+3
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)，
则
g(n+1)
g(n)
=
2n+3
2n+5
(1+
1
bn+1
)=
2n+3
2n+5
•
2n+4
2n+3
=
(2n+4)2
2n+5
•
2n+3
＞1
∴g（n+1）＞g（n），即g（n）递增．
∴g(n)min=g(1)=
1
5
•
4
3
=
4
5
15
，
即0＜a≤
4
5
15
．…（13分）
点评：本题考查数列的通项公式的求法、实数k是否存在的判断和求正实数a的取值范围．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
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