Question

（2013•德州一模）已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前5项和S₅=35，又a₁+1，a₃+1，a₇+1成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n为数列{

1

Sn

}的前n项和，问是否存在常数m，使Tn=m•[

n

n+1

+

n

2(n+2)

]，若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知可得(a3+1)2=(a1+1)(a7+1)，然后由s₅=35，结合等差数列的通项公式及求和公式可求a₁，d，进而可求通项
（2）由（1）可求s_n，然后利用裂项求和即可求解

1

sn

，代入已知式子即可求解满足题意的m

解答：解：（1）∵a₁+1，a₃+1，a₇+1成等比数列
∴(a3+1)2=(a1+1)(a7+1)
∴(a1+1+2d)2=(a1+1)(a1+6d+1)
整理可得，a₁+1=2d①
∵s₅=5a₁+10d=35②
联立①②可得，a₁=3，d=2
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1
（2）由（1）可得，s_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n（n+2）
∴

1

sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

2n+3

(n+1)(n+2)

×

1

2

∵Tn=m•[

n

n+1

+

n

2(n+2)

]
∴

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

=m•

n(3n+5)

2(n+1)(n+2)

整理可得，m=

1

2

∴存在常数m=

1

2

，使Tn=m•[

n

n+1

+

n

2(n+2)

]成立

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式、求和公式及等比数列的性质的应用，还考查了数列的裂项求和方法的应用，属于中档试题