Question

已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x、y恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，又f(1)＝－.

(1)求证：f(x)为奇函数； (2)求证：f(x)在R上是减函数；

(3)求f(x)在[－3，6]上的最大值与最小值．

 

Answer 1

（1）见解析；（2）见解析；（3）最大值为2，最小值为－4

【解析】

试题分析：（1）欲证函数为奇函数，需寻找关系.由题中条件可知，需要从f(x)＋f(y)＝f(x＋y)拼凑出与，令,便有,需求得,考虑到,令特殊值求；（2）同一样的思想，这里需要拼凑出与（）不等于关系（需利用当x＞0时，f(x)＜0）；（3）利用（1），（2）结论解（3）.

试题解析：令,可得从而.

令，可得，即，

故为奇函数． 4分

证明：设，且，则，于是.

从而.

所以为减函数． 8分

【解析】
由(2)知，所求函数的最大值为，最小值为．

,

.

于是在上的最大值为2，最小值为－4. 12分

考点：（1）函数奇偶性的证明（明确一般方法和过程）；（2）函数单调性证明（紧扣证明过程）；（3）求函数最值.