题目内容

已知向量
m
=(
3
cos
x
4
，cos
x
4
)，
n
=(sin
x
4
，cos
x
4
)．
（Ⅰ）若
m
•
n
=
3
+1
2
，求cos(x+
π
3
)的值；
（Ⅱ）记f(x)=
m
•
n
-
1
2
，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(
2
a-c)cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．
分析：（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换化简
m
•
n
 的解析式为sin(
x
2
+
π
6
)+
1
2
，利用诱导公式求出
cos(x+
π
3
)的值．
（Ⅱ）根据f(x)=
m
•
n
-
1
2
=sin(
x
2
+
π
6
)，再利用条件可得
2
sinAcosB=sinA，求出cosB=
2
2
，可得B的值，
可得A的范围，根据
A
2
+
π
6
的范围求得f（A）的范围．
解答：解：（Ⅰ）由题意可得
m
•
n
=
3
+1
2
=
3
cos
x
4
sin
x
4
+cos2
x
4
=
3
2
sin
x
2
+
1
2
cos
x
2
+
1
2
，
 即sin(
x
2
+
π
6
)=
3
2
，所以cos(x+
π
3
)=1-2sin2(
x
2
+
π
6
)=-
1
2
．------5分
（Ⅱ）∵f(x)=
m
•
n
-
1
2
=sin(
x
2
+
π
6
)，则f(A)=sin(
A
2
+
π
6
) (
2
a-c)cosB=bcosC，
则(
2
sinA-sinC)cosB=sinBcosC，即
2
sinAcosB=sinA，
∴cosB=
2
2
，则 B=
π
4
．
∵A∈(0，
3
4
π)，
A
2
+
π
6
∈(
π
6
，
13π
24
)，∴f(A)∈(
1
2
，1]．-------10分
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换，诱导公式的应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=（2sinx，1），
n
=（
3
cosx，2cos2x），函数f（x）=
m
•
n
-t．
（Ⅰ）若方程f（x）=0 在x∈[0，
π
2
]上有解，求t 的取值范围；
（Ⅱ）在△ABC 中，a，b，c分别是A，B，C 所对的边，当t=3 且f（A）=-1，b+c=2 时，求a 的最小值．
已知向量
m
=(-2sinx，cosx)，
n
=(
3
cosx，2cosx)，函数f(x)=1-
m
•
n

（1）求f（x）的最小正周期； 
（2）当x∈[0，π]时，求f（x）的单调递增区间；
（3）说明f（x）的图象可以由g（x）=sinx的图象经过怎样的变换而得到．
已知向量
m
=(-2sinx，cosx)，
n
=(
3
cosx，2cosx)，函数f(x)=1-
m
•
n

（1）求f（x）的最小正周期； 
（2）当x∈[0，π]时，求f（x）的单调递增区间．
（2012•威海一模）已知向量
m
=(2cosx，
3
cosx-sinx)，
n
=(sin(x+
π
6
)，sinx)，且满足f(x)=
m
•
n
．
（I）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（II）设△ABC的内角A满足f（A）=2，且
AB
•
AC
=
3
，求边BC的最小值．
已知向量
m
=（2sinx，cosx），
n
=（
3
cosx，2cosx）定义函数f（x）=loga（
m
•
n
-1）（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）确定函数f（x）的单调递增区间．

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