Question

已知n是正整数，数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=-a_n+（n-3），数列（na_n）的前n项和为T_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求T_n；
（3）设A_n=2T_n，B_n=（2n+4）S_n+3，试比较A_n与B_n的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）先把n=1代入S_n=-a_n+（n-3）求出a₁=-；再利用n≥2，a_n=S_n-S_n-1得到关于a_n和a_n+1 之间的递推关系式，得到数列{}为等比数列，从而求出数列{a_n}的通项公式；
（2）先由（1）求出a_n的通项代入na_n中表示出T_n，求和时利用错位相减法，化简得到T_n；
（3）先求出S_n，再利用作差的方法求解．
解答：解：（1）当n=1时，由已知可得，S₁=a₁=
解得a₁=…2分
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n-3）-[-（n-4）]
解得 a_n=，即═
因此，数列{ }是首项为-1，公比为 的等比数列
∴=
∴a_n=
（II）∵n
∴Tn=（1+2+3+…+n）-（1+2×+3×+…+n× ）…6分
令Un=1+2×+3×+…+n×
则 Un=+2×+3×+…+n×．
上面两式相减： Un=1++…+-n×
=，
即Un=4-
∴Tn=-4+=
（III）∵S_n=-a_n+
=-+
=
∴
=
∵当n=2或n=3时，的值最大，最大值为0，
∴A_n-B_n≤0．
∴A_n≤B_n．
点评：此题主要考查递推公式在数列的通项公式的求解中的应用，考查等比数列的一般求法，数列求和中的错位相减法．