题目内容
3．设a＞0，b＞0．若3是3a与3b的等比中项，则$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$的最小值为（ ）| A． | $3+2\sqrt{2}$ | B． | $\frac{{3+2\sqrt{2}}}{3}$ | C． | $\frac{{3+2\sqrt{2}}}{2}$ | D． | 3 |
分析 由等比中项的概念可得3a•3b=9，化简得a+b=2，然后利用基本不等式的性质求得$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$的最小值．
解答 解：由3是3a与3b的等比中项，得3a•3b=9，即a+b=2，
∴$\frac{a}{2}+\frac{b}{2}=1$，
则$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$）（$\frac{a}{2}+\frac{b}{2}$）=$\frac{1}{2}+1+\frac{b}{2a}+\frac{a}{b}≥\frac{3}{2}+2\sqrt{\frac{b}{2a}•\frac{a}{b}}=\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．
当且仅当$b=\sqrt{2}a$时上式等号成立．
故选：C．
点评 本题考查等比数列的通项公式，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．
练习册系列答案
相关题目
12．已知a∈（$\frac{π}{2}$，π），sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\frac{cos2α}{cos（α-\frac{π}{4}）}$的值为（ ）
| A． | -$\sqrt{3}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | -$\sqrt{2}$ | D． | $\sqrt{2}$ |