Question

某飞船返回仓顺利返回地球后，为了及时救出航天员，地面指挥中心在返回仓预计到达的区域内安排了三个救援中心（如图1分别记为A，B，C），B地在A地正东方向上，两地相距6km； C地在B地北偏东30°方向上，两地相距4km，假设P为航天员着陆点，某一时刻A救援中心接到从P点发出的求救信号，经过4s后，B、C两个救援中心也同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s．
（I）求A、C两上救援中心的距离；
（II）求P相对A的方向角；
（III）试分析信号分别从P点处和P点的正上方Q点（如图2，返回仓经Q点垂直落至P点）处发出时，A、B两个救援中心收到信号的时间差的变化情况（变大还是变小），并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则可表示A，B，C的坐标，从而可求AC的距离；
（2）由题意，易判断P在以A，B为焦点的双曲线轭坐支上，从而可确定双曲线的方程，再与BC的垂直平分线的方程联立，可求P的坐标，从而问题得解．

解答：解：（1）以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（-3，0），B（3，0），C(5，2

3

)，∴AC=2

19

km，即A\C两个救援中心的距离为2

19

km
（2）∵PC=PB，∴P在BC线段的垂直平分线上；∵PB-PA=4，∴P在以A，B为焦点的双曲线轭坐支上，且AB=6，∴双曲线的方程为

x2

4

-

y2

5

=1(x＜0)，BC的垂直平分线的方程为x-

3

y-7=0，联立两方程解得x=-8，∴P(-8，5

3

)，kPA=tan∠PAB=-

3

，∴∠PAB=120°，∴P在A点的北偏西30⁰方向上．

点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．解此类题的要点是建立适当的三角函数模型，利用三角函数的基本公式和定理进行求解．