Question

某飞船返回仓顺利返回地球后，为了及时救出航天员，地面指挥中心在返回仓预计到达的区域内安排了三个救援中心(如图1分别记为A，B，C)，B地在A地正东方向上，两地相距6 km； C地在B地北偏东30°方向上，两地相距4 km，假设P为航天员着陆点，某一时刻A救援中心接到从P点发出的求救信号，经过4 s后，B、C两个救援中心也同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1 km/s.

(1)求A、C两地救援中心的距离；

(2)求P相对A的方向角；

(3)试分析信号分别从P点处和P点的正上方Q点(如图2，返回仓经Q点垂直落至P点)处发出时，A、B两个救援中心收到信号的时间差的变化情况(变大还是变小)，并证明你的结论.

Answer 1

(1)以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则

A(－3,0)，B(3,0)，C(5,2)，

则|AC|＝＝2(km)，

即A、C两个救援中心的距离为2 km.

(2)∵|PC|＝|PB|，所以P在BC线段的垂直平分线上.

又∵|PB|－|PA|＝4，所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且|AB|＝6，

∴双曲线方程为－＝1(x＜0).

BC的垂直平分线的方程为x＋y－7＝0，联立两方程解得： x＝－8.

 ∴P(－8,5)，∴k_PA＝tan∠PAB＝－，

∴∠PAB＝120°，

所以P点在A点的北偏西30°方向上.

(3)如图，设

|PQ|＝h，|PB|＝x，|PA|＝y，

∵|QB|－|QA|

＝－

＝

＝(x－y)·，

又∵＜1，

∴|QB| －|QA|＜|PB|－|PA|，

∴－＜－.

即从P点的正上方Q点处发出的信号，然后A、B收到的时间差比从P点处发出的信号，然后A、B收到的时间差变小.