Question

已知a＞0,函数f(x)=ax-bx².?

(1)当b＞0时,若对任意x∈R都有f(x)≤1,证明a≤2；

(2)当b＞1时,证明对任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2；?

(3)当0＜b≤1时,讨论:对任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1的充要条件.?

Answer 1

(1)证明:依题意知,对任意x∈R,都有f(x)≤1.

∵f(x)=-b(x-)²+,

∴f()=≤1.

∵a＞0,b＞0,∴a≤2b.?

(2)证明:必要性:对任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1f(x)≥-1,?

∴f(1)≥-1,即a-b≥-1.∴a≥b-1.?

对任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1f(x)≤1,?

∵b＞1,可以推出f()≤1,

即a·-1≤1,

∴a≤2.∴b-1≤a≤2.?

充分性:∵b＞1,a≥b-1,对任意x∈［0,1］,可以推出ax-bx²≥b(x-x²)-x≥-x≥-1,即ax-bx²≥-1.

∵b＞1,a≤2.对任意x∈［0,1］,可以推出ax-bx²≤2bx-bx²≤1,即ax-bx²≤1.

∴-1≤f(x)≤1.?

综上,当b＞1时,对任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2.

(3)解:∵a＞0,0＜b≤1时,对任意x∈［0,1］,有f(x)=ax-bx²≥-b≥-1,即f(x)≥-1.

f(x)≤1f(1)≤1a-b≤1,即a≤1+b.

a≤1+bf(x)≤(1+b)x-bx²≤1,即f(x)≤1.

∴当a＞0,0＜b≤1时,对任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1的充要条件是a≤1+b.?

温馨提示:本题主要考查二次函数、不等式、充要条件的综合应用,考查分类讨论思想和逻辑推理能力以及思维能力.