Question

已知a＞0,函数f(x)=ln(2-x)+ax.?

(1)设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为l,若l与圆(x+1)²+y²=1相切,求a的值;?

(2)求函数f(x)的单调区间.

Answer 1

解析:(1)依题意,有x＜2,f′(x)=a+,?

过(1,f(1))点的直线的斜率为a-1,所以过(1,f(1))点的直线方程为y-a=(a-1)(x-1).?

又已知圆圆心为(-1,0),半径为1,?

依题意,有=1.解之,得a=1.?

(2)f′(x)= =a［x-(2-)］,?

当a＞0时,2-＜2,?

令f′(x)＞0,解得x＜2-;?

令f′(x)＜0,解得2-＜x＜2.?

所以(-∞,2-)是f(x)的增区间;?

(2-,2)是f(x)的减区间.?

(3)当2-≤0,即0＜a≤时,f(x)在［0,1］上是减函数,?

所以f(x)的最小值为f(1)=a.?

当0＜2-＜1,即＜a＜1时,f(x)在(0,2-)上是增函数,在(2-,1)上是减函数,?

所以需比较f(0)=ln2和f(1)=a两个值的大小.?

因为＜2＜e,所以=lne＜ln2＜lne=1.?

所以,当＜a＜ln2时,最小值为a;当ln2≤a＜1时,最小值为ln2.?

当2-≥1,即a≥1时,f(x)在［0,1］上是增函数,所以最小值为f(0)=ln2.?

综上,当0＜a＜ln2时,f(x)的最小值为a,当a≥ln2时,f(x)的最小值为ln2.