Question

设数列{a_n}的首项不为零，前n项和为S_n，且对任意的r，tN^*，都有．
（1）求数列{a_n}的通项公式（用a₁表示）；
（2）设a₁=1，b₁=3，，求证：数列为等比数列；
（3）在（2）的条件下，求．

Answer 1

（1）;（2）详见解析;（3）．

试题分析：（1）根据题中所给数列递推关系的特征：，有且只有前n项和的比值，而题中又要求以a₁表示，即可想到令，，得到，这样问题即可转化为由求的问题，注意要分三步啊; （2）由（1）中所求的表达式，并已知a₁=1，即可确定出的通项公式和前n项和公式，再运用条件，不难求出关系：，结合所证数列的特征和等比数列的定义，可得，即可得证;（3）由在（2）的条件下，即可得出的通项公式：化简得，观察其特点和所求目标，不难想到求出：，运用代数知识化简得：，这样就可联想到数列求和中的裂项相消的方法，可得：．
试题解析：（1）因为，令，，则，得，即． 2分
当时，，且当时，此式也成立．
故数列{a_n}的通项公式为．                                   5分
（2）当时，由（1）知，S_n＝n²．
依题意，时，，                                         7分
于是，且，
故数列是首项为1，公比为2的等比数列．                          10分
（3）由（2）得，所以．                  12分
于是．                   15分
所以．                      16分