Question

已知直角的三边长，满足
（1）在之间插入2011个数，使这2013个数构成以为首项的等差数列，且它们的和为，求的最小值；
（2）已知均为正整数，且成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列，且，求满足不等式的所有的值；
（3）已知成等比数列，若数列满足，证明：数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且是正整数.

Answer 1

（1）最小值为； （2） 2、3、4.
（3）证明：由成等比数列，.
由于为直角三角形的三边长，证明数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形. 证得，
故对于任意的都有是正整数.

试题分析：（1）是等差数列，∴，即. 2分
所以，的最小值为； 4分
（2） 设的公差为，则 5分
设三角形的三边长为，面积，，
. 7分
由得，
当时，，
经检验当时，，当时， 9分
综上所述，满足不等式的所有的值为2、3、4. 10分
（3）证明：因为成等比数列，.
由于为直角三角形的三边长，知，， 11分
又，得，
于是
.… 12分
，则有.
故数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形. 14分
因为 ，

， 15分
由，同理可得，
故对于任意的都有是正整数. 16分
点评：难题，本题综合性较强，涉及等差数列、等比数列、不等式及构成直角三角形的条件。对法则是自点变形能力要求高，易出错。