题目内容

△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a= $数学公式$ c， $数学公式$ ．
（I）求sinB的值；
（II）若D为AC中点，且△ABD的面积为 $数学公式$ ，求BD长．

解：（I）△ABC中，由 $\text{[math]}$ 可得sinC= $\text{[math]}$ ，再由2a= $\text{[math]}$ c利用正弦定理可得
2sinA= $\text{[math]}$ sinC= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，故sinA= $\text{[math]}$ ．
由a＜c 可得A＜C，∴A为锐角，故 cosA= $\text{[math]}$ ．
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（II）若D为AC中点，∵sinB=sinC，∴b=c．再由△ABD的面积为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
求得 c=2．
由余弦定理可得 BD²=AB²+AD²-2AB•AD cosA=2²+1²-2×2×1× $\text{[math]}$ ，解得 BD= $\text{[math]}$ ．
分析：（I）△ABC中，求得sinC= $\text{[math]}$ ，再由2a= $\text{[math]}$ c利用正弦定理可得sinA= $\text{[math]}$ ，由a＜c 可得A为锐角，cosA= $\text{[math]}$ ，再由 sinB=sin（A+C），利用角和的正弦公式求得sinB 的值．
（II） sinB=sinC，可得 b=c．再由△ABD的面积为 $\text{[math]}$ 求得 c=2，再利用余弦定理求出BD的值．
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，诱导公式以及两角和的正弦公式的应用，
属于中档题．