Question

设x＝3是函数f(x)＝(x²＋ax＋b)e^3－x(x∈R)的一个极值点．

(1)求a与b的关系式(用a表示b)，并求f(x)的单调区间；

(2)设a＞0，g(x)＝e^x．若存在、∈[0，4]，使得|f()－g()|＜1成立，求a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a]e3－x 　　由(3)＝0，得－[32＋(a－2)3＋b－a]e3－3＝0，即得b＝－3－2a， 　　则(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a]e3－x 　　＝－[x2＋(a－2)x－3－3a]e3－x＝－(x－3)(x＋a＋1)e3－x． 　　令(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点， 　　所以x＋a＋1≠0，那么a≠－4． 　　当a＜－4时，x2＞3＝x1，则 　　在区间(－∞，3)上，(x)＜0，f(x)为减函数； 　　在区间(3，―a―1)上，(x)＞0，f(x)为增函数； 　　在区间(―a―1，＋∞)上，(x)＜0，f(x)为减函数． 　　当a＞－4时，x2＜3＝x1，则 　　在区间(－∞，―a―1)上，(x)＜0，f(x)为减函数； 　　在区间(―a―1，3)上，(x)＞0，f(x)为增函数； 　　在区间(3，＋∞)上，(x)＜0，f(x)为减函数． 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当a＞0时，f(x)在区间(0，3)上的单调递增，在区间(3，4)上单调递减，那么f(x)在区间[0，4]上的值域是[min(f(0)，f(4))，f(3)]， 　　而f(0)＝－(2a＋3)e3＜0，f(4)＝(2a＋13)e－1＞0，f(3)＝a＋6， 　　那么f(x)在区间[0，4]上的值域是[－(2a＋3)e3，a＋6]． 　　又在区间[0，4]上是增函数， 　　且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋，(a2＋)e4]， 　　由于(a2＋)－(a＋6)＝a2－a＋＝()2≥0，所以只须仅须 　　(a2＋)－(a＋6)＜1且a＞0，解得0＜a＜． 　　故a的取值范围是(0，)

提示：

本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．